42 vs. 105

道を歩いているとき，無意識のうちに数字をいじっていることに気付いたのでその内容を思い出しながら書いてみる試み。

42 と 105 は確かどっちも異なる三つの素数の積である。2, 3, 5, 7 から三つ選んでかけるとそれらが出てくる。だけどどっちもそこそこ小さい素数を三つかけて作ったわりに，意外と大きさには違いがあるように思う。なんせ 105 は 42 の倍以上ある。

これは本当だろうか，どこかで間違ったのではないか。いや今考えたことはすべて本当なはずなんだけど，なんでこんなに差があるんだろう。もっと納得したいぞ。

そこで計算してみることにする。素因数分解してみると 42=2*3*7, 105=3*5*7 となる。ということは異なる素因数は 2 と 5 であるから，その違いはどれくらいかと割り算してみると 5/2=2.5 となる。つまり 2.5 倍になるはずで，確かに理屈の上では倍以上の開きが出なければならないのだ。

さらに計算してみると 4*2.5=10 だから 40*2.5=100 なはずで，そうすると確かに 42 と 105 の間にはおよそ 2.5 倍の差があって然るべきである。*1

ということで，なんとなく直感に反すると思ったけど，理屈の上ではやっぱり正しいのだなあ，数学はよくできているなあ，などと思うのでした。道を歩いたり洗い物をしたり爪を切ったりしながら毎日こんなことを考えてはすぐ忘れているのかもしれません。

*1:本当は差ではなく比という言葉が使われるべきだし，その比はおよそ 2.5 ではなくちょうど 2.5 である