数遊び

ある日の夜，寝ようとして布団に入った瞬間に，どういうわけか 676 という数字が浮かんできた。

見覚えのある数字だ。でもどこで見たのだろうか。平方数か何かだろうか。そういえば 24 の二乗はそんな感じの数だった気がする。そこで計算してみると ，ちょっと違う。

試しに素因数分解でもしてみようと思う。676 = 700 - 20 - 4 で右辺に出てくるのは 4 の倍数だから，676 は 4 で割り切れる。そこで試しに割ってみると 676 = 4 * 169 となる。169 は知っている。13 の二乗である。

ということは なのか。そういえばそうだったような気がする。

そうすると 576 と 676 はいずれも平方数なのだ。そんなことがあるだろうか？というのは，平方数は疎らにしか存在しないように思えるので，両者の間隔がちょうど 100 というきりのいい数になるということはそれほどありそうにない。*1

それではなぜ なのか。計算してみればそうなる，というのは論理的に正しいが，論理的に正しい証明が必ずしも納得をもたらすわけではない。

そういえば，24 と 26 の間には 25 があり，100 は 25 の倍数である。たぶんここから何かわかるのではないか。

平方数が奇数の和であることを思い出そう。つまり である。そうすると と がわかるから（これは を使っても確かめられる），確かに でなければならないとわかった。少し納得した。

こんなことを考えているから眠れない。

*1:もちろんありそうにないからといってありえないという根拠にはならないし，そもそもありそうにないという感覚はよくある認知バイアスの一例である。例えば 1 以上 1000 以下の整数をランダムに選ぶとき，100 というきりのいい数字が出る確率が，623 のようなきりのよくない数が出る確率に比べて低いわけではない。同様に，二つの平方数を持ってきて差を計算したらちょうど 100 になるという出来事が，単にそれがきりのいい数だというだけで他の数が出てくるのに比べてありそうにないことだと主張することはできない。しかし僕の頭はこのような判断を一瞬で下せるほどにはよく働かなかった。