Z/nZ の分解周りのメモ

 n = q_1 \dots q_k, q_i = p_i^{e_i} と書いたとき中国剰余定理として知られる同型  \mathbb Z / p^n\mathbb Z \simeq \prod_i \mathbb Z / q_i \mathbb Z の具体的な与え方が毎回思い出せないのでどこかに書いておきたいと思ってメモ。ついでに単数群の生成元も。

同型

 \mathbb Z / n \mathbb Z  \to \prod_i \mathbb Z / q_i \mathbb Z は単純にそれぞれの成分に射影すればよい。逆が少しややこしくて,
 \prod_i \mathbb Z / q_i \mathbb Z \ni (x_1, \dots, x_k) \mapsto \sum_i \left(\frac{n}{q_i} \mod q_i\right)^{-1} \cdot \frac{nx_i}{q_i} \mod n \in \mathbb Z / n \mathbb Z
となる。mod q_i での逆元は互除法を使うか  \phi(q_i) - 1 乗すると求まる。

単数群

p が奇素数のときは  (\mathbb Z / p^n \mathbb Z)^{\times}巡回群で,r を mod p での原始根とすると  (p+1)r で生成される。他にも生成元はたくさんある。

p = 2 のときは n > 2 なら巡回群ではなく, (\mathbb Z / 2^n \mathbb Z)^{\times} \simeq \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2^{n-2} \mathbb Z となる。右から左への同型は  (x \mod 2, y \mod 2^{n-2}) \mapsto (-1)^x \cdot 3^y で与えられる(左辺は乗法群,右辺は加法群なので混乱しないよう注意)。他の同型もたぶんたくさんある。