風呂場でする遊び

さっきシャワーを浴びながら考えていたことなど。

8 って 9 - 1 だから平方数（以下，平方数に 0 は含めないことにする）の差だなーということをまず思った。なんで 8 のことを考えていたかは省略する。というかよく覚えていない。

平方数の差はたくさんあるので，これだけだとそんなに面白くない。もうちょっと強い条件はなにか考えられないだろうか。

例えば平方数の差で表せる正の数の中で 8 はどれくらいの位置にいるだろうか。そういう数の中で一番小さいのは 3 である。その次は 5 である。その次ぐらいじゃないか？と思ったが，よく考えたら 7 = 16 - 9 だから違った。

しかし以上のことから，平方数の差で表せる正の数のうち平方数の差で表せる最小の数番目に小さい数は 7 であることがわかった。8 はその次。

7 までに現れる数はすべて奇数だったので，8 の特徴付けとして「平方数の差で表せる最小の正の偶数」というものが考えられることもわかる。

考えてみれば 3 以上の奇数は必ず平方数の差で表せるのだった。そして偶数が平方数の差になることは，それが 4 の倍数かつ 4 より大きいことと同値である。いずれも証明は難しくないので読者への演習問題とする。