掛け算と割り算は随伴 - 論理とか計算機とか数学とか

m が正整数のとき $m x \leq y \iff x \leq \lfloor y/m \rfloor$ となることを証明する。

適当な仮定の下で $R : \mathcal C \to \mathcal D$ の左随伴 L は $LD \simeq \lim (\pi : D \downarrow R \to \mathcal C)$ と表される。そこで $\mathcal C = \mathcal D = \mathbb Z$ （普通の順序で圏とみなす）かつ $R y = \lfloor y/m \rfloor$ の場合を考える。すると， $\mathbb Z$ における極限は最小値なので，確かに

$Lx = \lim (\pi : x \downarrow R \to \mathbb Z) = \min \{ y \mid x \le \lfloor y/m \rfloor \} = mx$

となることがわかる。