既約性 - 論理とか計算機とか数学とか

$x^n + x - 1$ が既約であることと $n \not \equiv 5 \pmod 6$ であることが同値みたいなんだけど，どうやって証明するんだかわからなくて気になってとりあえず調べてみたことを書きます。

http://mathoverflow.net/questions/177789/is-xn-x-1-irreducible によると $x^n - x - 1$ は既約なので，それを認めると，n が偶数であれば -x を代入して $x^n + x - 1$ も既約であることがわかる。だから奇数の場合の既約性だけが問題になる。

http://math.stackexchange.com/questions/264853/irreducibility-of-xnx1 によると， $n \not\equiv 2 \pmod 3$ ならば $x^n + x + 1$ は既約なので，それをふたたび認めると，n が奇数のとき先程と同様に -x を代入することで $n\not\equiv 2 \pmod 3$ ならば $x^n + x - 1$ は既約であることがわかる。奇数について $n\not\equiv 2 \pmod 3$ は $n\not\equiv 5 \pmod 6$ と同値だから，n が奇数かつ $n\not\equiv 5 \pmod 6$ ならば $x^n + x - 1$ は既約である。

ということは，これらを合わせると $x\not\equiv5 \pmod 6$ ならば $x^n + x - 1$ は既約であることがわかる。

$x=5 \pmod 6$ のときは $x^n + x - 1$ は $x^2 - x + 1$ で割り切れることが容易に確かめられるから，最初に述べた同値性がわかった。